Матемаг

#вопрос #математика

Народ, подскажите, пожалуйста, как нагуглить кривые, обобщающие окружность, типа такого:
C = X^2a + Y^2a, где C > 0
То есть, окружность получается при a = 1, а мне интересно, что будет дальше - при a = 2, 3, 4, ..., 2a, ... И что будет в пределе тоже интересно, то есть при a -> +бесконечность.
Можно, конечно, взять ручку, бумажку и пойти методами анализа исследовать и строить графики всех функций, сначала четвёртого порядка, потом шестого, восьмого и так далее, и даже с пределом, наверное, можно было бы вручную вычислить, но есть предположение, что это давно где-то лежит, а я просто не знаю, какими ключевыми словами нагуглить. Подскажите?
Ну или хотя бы приложение какое не слишком громадное для построение графиков алгебраических функций, заданных неявно, любой степени.

#математика #логика #моё #размышления #статья

Думаю о формальной системе, в которой можно было вы выразить (аналоги) сообщения вроде "Это предложение ложно" или "В этом предложении пять слов". Специально не гуглю - неспортивно. Далее - рассуждения по теме. Если кто знает, как это делается - просьба не спойлерить. Если кто-то знает, что доказано, что это невозможно – можете спойлерить, какая разница, от попыток не остановит! Благо в аксиоматике Пеано с помощью логики и Гёделевой матери можно выразить утверждения самой аксиоматики, так почему бы и не? Ниже размышления идут "как думается", а не после осмысления в статью-с.

1. Сначала – разбор, собственно, того, что нам нужно. В "это предложение ложно" ¬– три значащих слова. Ещё - опущенная связка (является, есть). 4 значащих понятия. Допустим. "Ложно" – к нему я вернусь позже, сейчас (во время написания этого предложения) лучше обратиться к другим трём. С «является» проще. Зададим тем же «=». Короче, тут логические символы задействовать можно с лёгкостью. Как и с «ложно», но тут проблема в том, что «ложно, истинно», вероятно, придётся дополнять до троичного «ложно, истинно, противоречиво». Или до иного множества значений, т.к., возможно, придётся выражать оттенки противоречий и истинности-ложности.
2. Что касается «это», то здесь гораздо сложнее. Во-первых, определим, имеет ли смысл общее понятие «это предложение» или нам удобней отдельно определить «это» и «предложение». В обыденном языке, конечно, отдельный смысл имеется, но у нас будет специализированная формальная система. Что может быть «это», кроме «предложение», если «предложение» будет относиться к любому набору символов? Да ничего. Поэтому нам просто нужен идентификатор предложения. Можно выбрать один из двух путей.
Во-первых, ввести-таки «This», ключевой символ, определяющий обращение к именно этому предложению, а все иные употреблять через их полное выписывание, введя символами две кавычки. Достаточно ли сильным будет такое описание, чтобы выразить оба наших варианта? «Это предложение ложно» -> «This = Л». Выглядит неплохо. «This = пятисимвольно», где о выражении «пятисимвольно» мне ещё предстоит подумать – позже. И попробуем описать таким образом сами наши предложения. ««This = Л» = П», где под «П» предварительно приму «противоречиво». ««This = пятисимвольно» = Л». Выглядит неплохо.
Во-вторых, можно поступить невыразимо более сложным и неинтуитивным (для меня?) образом. Мы можем просто присвоить каждому высказыванию уникальный для него указатель. Во-первых (A), можно сделать это богопротивным образом, определив прямо. То есть, берём алфавит с бесконечным (счётным) количеством уникальных символов, каждый энный из которых будет указателем на другой символ уже алфавита, а не прочей ФС… В принципе, почему бы и нет. Хотя практически это ничем не будет отличаться от некоторой схемы (B), по которой каждому (конечному) набору символов, включая символы самой этой системы, присваивается «название» – набор символов, вместе употребляемых для указания на высказывание или (а может, и не «или») отдельное понятие. Поскольку бесконечного алфавита уникальных символов у меня почему-то не имеется, то придётся использовать не (A), но (B). Но нужно построить такую схему. И придётся сделать это позже, поскольку сначала нужно определиться с другими символами языка.
Но прикидочно, можно использовать для этого банальный подход. 1, 2, 3, …, n – это номера основных неопределимых понятий. Далее, выражение [1], [2] и так далее будут указателями на эти понятия. Соответственно, набор [1 + 3 + 4] будет указателем на сочетание «понятие 1, затем 3, затем 4». Далее, для обращения к самим этим утверждениям будем использовать []. То есть, указатель на «указатель на «1, затем 3, затем 4»» будет выглядеть как [[1 + 3 + 4]]. Так мы можем назвать по уникальному имени вообще любое утверждение.
Хм. Дойдя до этого момента, осознал, что (B) не сработает. Чтобы записать «This = Л» на языке «[]», нам понадобится следующее. Предположим, что = есть 1, Л есть 2. И получим вложенную конструкцию «[[[[[[… + 1 + 2] + 1 + 2]» с бесконечным количеством скобок. Пожалуй, B не сработает и без This не обойтись. Впрочем, ничто не мешает совместить подходы. Возможно, я так и сделаю.

На этом пока всё.

#математика #моё #вопрос

Ничего не понимаю. Следующая задача: можно ли в квадрате 1*1 разместить окружности таким образом, чтобы они не касались друг друга и при этом сумма их радиусов составляла A, где A - некое большое число. Например, 100500. Дополнительно: никаких вписанных друг в друга кругов, по крайней мере, я обошёлся без этого вовсе. Так вот. Почему она стоит рядом с действительно сложными задачами? Я туплю, или в ней есть какой-то подвох? Решил её в уме и теперь не понимаю, что тут не так. В целом, ничто не мешает задать любую A > 0 сумму радиусов. Не. По. Ни. Маю. Что тут не так?

Решение не даю, чтобы не замыливать глаза.

#математика #вопрос #моё

А теперь забудем обо всех этих, безусловно, любопытных, но малозначимых блоготёрок и вернёмся к сути.
Известно, что x таково, что:

ln(x) + 2 + (tg(x))^2 = 0.

Определить, какой знак имеет следующее выражение (которое, как заметно, является его первообразной):

x*ln(x) + tg(x)

Вроде бы, логарифм убывает очень быстро по мере стремления x к нулю, поэтому можно сказать, что x ~ e^-2, а точнее, чуть меньше e^-2 - ровно в той степени, чтобы компенсировать двойку и (tg(e^-2 - a))^2, который ~ 0. Но это не даёт мне практически ничего, т.к. число
-2*(e^-2) + tg(e^-2) ~ 0, т.е., близко к нулю, но, чорт побери, с какой стороны? А с какой стороны точное число (e^-2 - a)*ln(e^-2 - a) + tg(e^-2 - a)? Непонятно. А мне желательно строгое доказательство.

Как вообще сравниваются такие числа, когда берутся какие-то две неэлементарные функции от "некрасивых" значений? Без понятия. А ответ весьма интересен.

В тред призываются: Cheery Cherry, София Риддл, а также все желающие.

Хммммм, что-то в этом есть...
*оглядывается на свой ник*

#ссылки #математика #ваха #комиксы

#вопрос #моё #блоги #математика #мета

Такой вопрос всем математически грамотным, умеющим искать и не страдающим гугленью. Кто-нибудь может привести цитату, где сказано, что математическая логика и/или теория вероятностей (там несколько интерпретаций, гугл ит) может применяться в нечётких рассуждениях о чём угодно. Ключевой момент - "о чём угодно". Требуется цитата какого-нибудь математика, философа математики, философа науки, просто философа, что матлогика предоставляет возможность оперировать рассуждениями как объектами в отрыве от их содержания - то есть, любыми. Далее, требуется цитата, что то же самое позволено нечёткой логике/бесконечнозначной логике/модальной (с модальностью "возможно-невозможно") логике - хотя бы одной из трёх. Кроме того, ещё лучше иметь общую цитату, прямо говорящую о том, что математика суть абстрактный язык, могущий применяться в любом месте, где есть упорядоченные структуры. Совсем хорошо, если вышеопределённые цитаты будут принадлежать области вроде структурной лингвистики или теории моделей - чему-то, что может прямо оперировать отношением интерпретации и затрагивать хотя бы косвенно, структурно, содержание элементарных единиц естественного языка.

#моё #вопрос #математика #размышления #поттериана

А давайте поиграем! Каждый берёт палочку. Одновременно накладываем друг на друга Круциатус. Кто продержит дольше - тот мучит до полусмерти и авадит или империт проигравшего, после чего тот либо выбывает, либо участвует в игре на его стороне.

Предположим, у нас 100 игроков, вероятность победы каждого над каждым - 0,5. Вероятность, что после победы игрок заавадит - 3/4, заимперит - 1/4. Кроме того, под империусом устойчивость к Круциатусу растёт, вероятность победы раба над свободным - 0,6. С какой вероятностью в результате игры в живых останутся двое: один победитель и один раб?

Дополнения и замечания:
- предполагается, что равновероятно для одного участника встретить любого из оставшихся, включая заимперенных, в каждом раунде. Да, разбиение на раунды. Можно было организовать и иным образом, хехе, что бы кардинально поменяло картинку.
- предполагается, что заимперенного игрока можно "переимперить" в случае победы.
- нигде не сказано о конечности игры. Учитывая переимперивание, она может, со стремящейся к нулю вероятностью, продолжаться бесконечно. Причём бесконечным числом способов, включая периоды переимперивания любой длины.
- после подчинения или убийства повелителя, всего его заимперенные рабы освобождаются и продолжают игру на правах свободных.
- после смерти хозяина раб освобождается.
- дуэли проходят по следующей схеме: общее число участников делится по парам (выбор пар: 1 случайная перестановка (все перестановки равновероятны) плюс делим пополам, перемещаем список справа под список слева - вот вам и пары; если нечётное, то крайний правый после перестановки пропускает), у каждой проходят дуэли вне зависимости от предыдущих дуэлей.
- если раб империт побеждённого (свободного или нет), то он имперится на хозяина раба, а не его самого.
- можно переимперить чужого раба себе; раб может переимперить чужого раба своему господину
- если хозяин некоторых рабов убит или заимперен, его рабы освобождаются и продолжают игру на правах свободных

Такой вопрос. Может кто-нибудь с навыками гугления или математики выше 9000 найти простое доказательство, что непрерывные кривые, соединяющие противолежащие точки выпуклого четырёхугольника ВНУТРИ НЕГО обязательно пересекутся? Или, иначе, дано:
- Плоскость, 2-мерное евклидово пространство
- 2 произвольные несовпадающие прямые
- На двух любых соседних лучах их пересечения берём 4 различные точки: любые 2 на одном, любые 2 на другом.
- Соединяем вторую от точки пересечения точку первого луча с первой от точки пересечения второго и наоборот произвольными кривыми.
Вопрос: почему они пересекутся?

Подразумевается, что мне не надо будет осваивать 4-томный 6-летний курс топологии, чтобы понять ответ; матан, включая рассуждения на языке эпсилон-дельта понимаю, но не совсем понимаю, как их присобачить к кривым, не являющимся однозначными функциями с любой (бесконечной в том числе) длиной и возможностью произвольного числа самопересечений.
http://dxdy.ru/topic81619.html - единственная найденная на тему ссылка. Куча топологических (печаль-тоска-Нургл) рассуждений прилагается.

...к вопросу "зачем мне это?" Ну. Одна любопытная задачка к такому сводится.
Ещё интересней было бы увидеть конструктивное доказательство существования, к слову.

#вопрос #математика #моё